Mencari Akar Persamaan Nirlanjar dengan Metode Bagi Dua

Daftar Isi

• Metode Bagi Dua
  • Pendahuluan
    • Metode Terbuka
    • Metode Tertutup
  • Syarat dalam Metode Tertutup
  • Kondisi yang Mungkin Terjadi
    • Hasil Kali Batas Negatif
    • Hasil Kali Batas Positif
  • Menentukan Selang
  • Proses Membagi Dua dan Kondisi Berhenti Iterasi
    • Proses Membagi Dua
    • Kondisi Berhenti Iterasi
    • Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagi Dua
• Contoh Penerapan
• Referensi

Hai, IRKWAN.

Saat ini saya ingin membagikan sesuatu yang spesial untuk Anda. Apakah itu? Apakah Anda ingat dengan persamaan seperti berikut ini ?

x² + 2x + 2 = 0

Saya rasa itu mudah bagi Anda untuk menemukan akar persamaannya. Bagaimana dengan sin(x²) = 0 ? Saya rasa semakin sulit. Pada kesempatan saat ini saya ingin mengenalkan metode bagi dua untuk mencari akar persamaan nirlanjar. Mari kita simak.

Metode Bagi Dua

Pendahuluan

Sebelum mengetahui metode bagi dua, perlu diketahui bahwa untuk mencari akar persamaan memiliki dua metode secara umum, yaitu metode terbuka dan metode tertutup. Metode bagi dua termasuk pada metode tertutup. Adapun penjelesan singkat mengenai metode tersebut sebagai berikut.

Metode Terbuka

Berikut beberapa poin singkat mengenai metode terbuka :

• tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar
• mencari akar melalui suatu lelaran (iterasi) yang dimulai dari sebuah tebakan (guest) awal,
• pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru.
• Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen).
• Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

Metode Tertutup

Sedangkan metode tertutup dapat diringkas sebagai berikut :

• mencari akar di dalam selang [a,b];
• Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar,
• karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar.
• Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar,
• karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen.

Syarat dalam Metode Tertutup

Sudah diketahui bahwa metode bagi dua merupakan metode tertutup, oleh karena itu perlu diketahui juga mengenai metode tertutup lebih dalam dan mengenai syarat-syaratnya. Pada metode tertutup memerlukan selang [a,b] yang mengandung minimal satu buah akar. Adapun syarat cukup keberadaan akar sebagai berikut :

Jika f(a)f(b) < 0 dan f(x) menerus di dalam selang [a,b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a,b].

Dari pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa selang [a,b] harus berbeda tanda pada nilai-nilai fungsinya supaya terdapat minimal 1 buah akar.

Gambar 1 - Ilustrasi grafis untuk akar hampiran dalam metode bagi dua.

Sumber : https://perguruanfarhan.files.wordpress.com/2012/03/pers19.jpg diakses pada tanggal 23 Juni 2016 pukul 11.44

Kondisi yang Mungkin Terjadi

Hasil Kali Batas Negatif

Pada kondisi ini akan terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. Dalam matematis dapat ditulis sebagai berikut : f(a)f(b) < 0.

Gambar 2 - Grafik yang menghasilkan f(a)f(b) < 0

Sumber : 1

Hasil Kali Batas Positif

Pada kondisi ini akan terdapat akar sebanyak bilangan genap, termasuk saat tidak ada akar. Dalam matematis dapat ditulis sebagai berikut : f(a)f(b) > 0.

Gambar 3 - Grafik yang menghasilkan f(a)f(b) > 0

Sumber : 1

Menentukan Selang

Ada beberapa cara untuk menentukan selang [a,b] yang cukup kecil dan mengandung akar. Adapun cara tersebut sebagai berikut :

1. Membuat grafik fungsi di bidang X-Y, lalu melihat di mana perpotongan dengan sumbu-X.
2. Membuat tabel yang memuat nilai-nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak tetap (h). Nilai h dibuat cukup kecil. Contoh pembuatan tabel dan pemilihannya akan diperlihatkan dalam contoh penerapan. Cara yang digunakan yaitu menggunakan cara 2.

Proses Membagi Dua dan Kondisi Berhenti Iterasi

Proses Membagi Dua

Metode bagi dua atau bisection, metode ini dimulai dari dua titik a₀ dan b₀ yang memiliki

f(a₀) > 0, dan f(b₀) < 0

Karena fungsi f adalah kontinu, harus ada akar antara [a₀,b₀]. Dalam iterasi ke k, asumsikan kita telah mendapat interval [a_k,b_k] sehingga memenuhi: f(a₀) > 0, dan f(b₀) < 0. Metode bisection atau metode bagi dua ini mengelompokan interval [a_k,b_k] menjadi dua dan membuang setengahnya yang tidak mungkin ada akar-akarnya. Misalkan m_k - (a_k + b_k) / 2.

• Jika f(m_k) < 0, maka interval [a_k,m_k] yang akan diambil. Sehingga a_k+1 = a_k dan b_k+1 = m_k.
• Jika f(m_k) > 0, maka interval [m_k,b_k] yang akan diambil. Sehingga a_k+1 = m_k dan b_k+1 = b_k.
• Jika f(m_k) = 0, maka m_k adalah akarnya dan hentikan algoritma.

Dalam prakteknya, iterasi ini akan berhenti ketika f(m_k) sekecil mungkin. Misalkan x^* sebagai akar yang tidak diketahui. Error yang akan didapat

abs(x^* - m_k) < abs(b_k - a_k) = 2^-k abs(b₀ - a₀).

Keuntungan dari metode bagi dua ini adalah bahwa hal itu dijamin untuk terpusat ke akar, dari pembentukan. Jika ada beberapa akar, metode bisection akan memusat ke salah satu dari beberapa akar tersebut (sehingga tidak dapat mengontrol akar yang akan dipilih oleh metode tersebut).

Adapun ringkasan dari proses membagi dua tersebut sebagai berikut.

Gambar 4 - Proses pada Metode Bagi Dua

Sumber : 1

Kondisi Berhenti Iterasi

Kondisi berhenti iterasi dapat dipilih salah satu dari kriteria berikut :

1. Lebar selang baru : abs(a-b) < ε, yang dalam hal ini ε adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar.
2. Nilai fungsi di hampiran akar: f(c) < μ, yang dalam hal ini μ adalah nilai yang sangat kecil mendekati 0.
3. Galat relatif hampiran akar: abs((c_baru - c_lama) / c_baru) < δ, yang dalam hal ini δ adalah galat relatif hampiran yang diinginkan.

Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagi Dua

1. Jumlah akar lebih dari satu
   • Bila dalam selang [a,b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan.
   • Cara mengatasinya: gunakan selang [a,b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah akar.
2. Akar ganda
   • Metode bagi dua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru.
   • Contoh: f(x) = (x - 4)² = (x - 4)(x - 4), mempunyai dua akar yang sama, x = 4.

3. Singularitas

   Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a,b] mengandung titik singular, iterasi metode bagi dua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagi dua menganggap titik singular sebagai akar karena iterasi cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu.

   • Cara mengatasinya: periksa nilai abs(f(b) - f(a)).
   • Jika abs(f(b) - f(a)) konvergen ke nol, akar yang dicari pasti akar sejati,
   • Jika abs(f(b) - f(a)) divergen, akar yang dicari merupakan titik singular (akar semu).

Contoh Penerapan

Sebagai contoh dapat digunakan fungsi berikut ini untuk dicari akar-akarnya.

f(x) = e^x - 5x²

• Grafik

  Agar memudahkan, saya akan memberikan gambar grafik dengan perbesaran yang berbeda untuk menunjukan daerah akar-akarnya.

  

  Gambar 5 - Grafik pada interval -4 sampai 5

  Sumber : Dokumen Pribadi

  

  Gambar 6 - Grafik pada interval -40 sampai 40

  Sumber : Dokumen Pribadi

• Tabel Nilai

  Tabel nilai ini dimulai dari a = -0.5 sampai v = 1.4 dengan kenaikan absis sebesar h = 0.1.

  x	f(x)
  -0.50	-0.643469
  -0.40	-0.129680
  -0.30	0.290818
  -0.20	0.618731
  -0.10	0.854837
  0.00	1.000000
  0.10	1.055171
  0.20	1.021403
  0.30	0.899859
  0.40	0.691825
  0.50	0.398721
  0.60	0.022119
  0.70	-0.436247
  0.80	-0.974459
  0.90	-1.590397
  1.00	-2.281718
  1.10	-3.045834
  1.20	-3.879883
  1.30	-4.780703
  1.40	-5.744800

  Dari tabel tersebut selang-selang yang dapat dipilih dan mengandung akar:

  [-0.40,-0.30]

  [0.60,0.70]

  [0.50,0.70], bisa dipilih, tetapi cukup lebar

  [-0.50,-0.20], bisa dipilih, tetapi cukup lebar

• Iterasinya

  Berikut ini penyelesaian iterasinya pada selang [0,1] dan ε = 0.00001.

  

  Gambar 7 - Penyelesaian

  Sumber : 1

  Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0.605263.

Referensi

1. Slide “Solusi Persamaan Nirlanjar” oleh Rinaldi Munir. Go To Source
2. Catatan Dosen dalam MIT Open Courseware pada kuliah Introduction to Numerical Analysis. Menerjemahkan dan mengambil sebagian konten ini. License link

Created by : Bervianto Leo Pratama, 13514047